4- Razones y proporciones | Ejemplo 3- profe Alex
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Razones y Proporciones – Problemas con Rectángulos
📌 Introducción
En este tutorial aprenderás a resolver problemas de razones y proporciones aplicados a figuras geométricas, específicamente rectángulos. Veremos dos ejercicios: uno donde conocemos el perímetro y otro donde conocemos el área.
🔑 Conceptos Clave
¿Qué significa que dos medidas estén en razón de "a a b"?
Si el largo y el ancho de un rectángulo están en razón de 4 a 3, NO significa que midan 4 y 3 exactamente.
Significa que:
Largo = 4 × (constante k)
Ancho = 3 × (constante k)
Donde k es un número desconocido que debemos encontrar.
Ejemplo:
| Constante k | Largo (4k) | Ancho (3k) |
|---|---|---|
| 2 | 8 | 6 |
| 10 | 40 | 30 |
| 3 | 12 | 9 |
📐 Fórmulas Importantes
| Concepto | Fórmula |
|---|---|
| Perímetro del rectángulo | P = 2(largo) + 2(ancho) = suma de los 4 lados |
| Área del rectángulo | A = largo × ancho |
✏️ Ejercicio 1: Conocemos el Perímetro
Enunciado
El largo y el ancho de un rectángulo están en razón de 4 a 3. Si el perímetro es de 42 cm, ¿cuáles son las dimensiones?
Paso 1: Expresar las medidas con la constante k
Largo = 4k
Ancho = 3k
Paso 2: Plantear la ecuación del perímetro
Perímetro = 4k + 3k + 4k + 3k = 42Paso 3: Resolver la ecuación
14k = 42
k = 42 ÷ 14
k = 3 cmPaso 4: Calcular las dimensiones
Largo = 4k = 4 × 3 = 12 cm
Ancho = 3k = 3 × 3 = 9 cm
Paso 5: Verificación
✅ Razón: 12/9 = 4/3 (simplificando entre 3)
✅ Perímetro: 12 + 9 + 12 + 9 = 42 cm
✅ Respuesta
Las dimensiones del rectángulo son 12 cm de largo y 9 cm de ancho.
✏️ Ejercicio 2: Conocemos el Área
Enunciado
El largo y el ancho de un rectángulo están en razón de 1 a 3. Si su área mide 75 m², ¿cuáles son las dimensiones?
Paso 1: Expresar las medidas con la constante k
Largo = 1 × k = k
Ancho = 3 × k = 3k
Paso 2: Plantear la ecuación del área
Área = largo × ancho
75 = k × 3k
75 = 3k²Paso 3: Resolver la ecuación
k² = 75 ÷ 3
k² = 25
k = √25
k = 5 m⚠️ Nota: En geometría, la constante siempre es positiva, por eso tomamos solo la raíz positiva.
Paso 4: Calcular las dimensiones
Largo = k = 5 m
Ancho = 3k = 3 × 5 = 15 m
Paso 5: Verificación
✅ Razón: 5/15 = 1/3
✅ Área: 5 × 15 = 75 m²
✅ Respuesta
El rectángulo tiene 5 m de largo y 15 m de ancho.
📊 Resumen del Método
| Paso | Acción |
|---|---|
| 1 | Identificar la razón (a : b) |
| 2 | Expresar: largo = ak, ancho = bk |
| 3 | Usar la fórmula del perímetro o área |
| 4 | Plantear y resolver la ecuación para k |
| 5 | Calcular las dimensiones reales |
| 6 | Verificar y dar la respuesta con palabras |
💡 Consejos Prácticos
Dibuja siempre el rectángulo con las medidas en términos de k.
No confundas razón con medida real.
Verifica al final: comprueba que se cumple la razón y el perímetro/área.
Si la figura es diferente (triángulo, círculo, etc.), usa la fórmula correspondiente.
En problemas de área, aparecerá k², así que deberás sacar raíz cuadrada.
🧠 Ejercicio Propuesto
El largo y el ancho de un rectángulo están en razón de 2 a 5. Si su perímetro es de 56 cm, ¿cuáles son sus dimensiones?
Respuesta: largo = 8 cm, ancho = 20 cm
🎬 Conclusión
Ya sabes resolver problemas de razones y proporciones con rectángulos usando perímetro o área. La clave está en:
Expresar todo en función de k
Plantear la ecuación correcta
Verificar siempre el resultado
¡Practica con diferentes figuras geométricas y verás que es igual de sencillo
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