6- Proporcionalidad directa- profe Alex-Razones y proporciones
Magnitudes Directamente Proporcionales y Regla de Tres Simple Directa
Introducción
En este tutorial aprenderás qué son las magnitudes directamente proporcionales y cómo aplicar la regla de tres simple directa. Si comprendes bien estos conceptos, la regla de tres te parecerá sumamente fácil.
1. ¿Qué es una magnitud?
Una magnitud es toda propiedad que se puede medir y expresar mediante un número.
Ejemplos de magnitudes:
| Magnitud | Ejemplo |
|---|---|
| Velocidad | 80 km/h |
| Tiempo | 3 horas, 10 minutos |
| Masa | 85 kg, 100 g |
| Distancia | 5 cuadras, 10 km, 12 cm |
| Temperatura | 25 °C, 30 °C |
| Precio | $10,000 |
| Partidos ganados | 5 partidos, 78 partidas |
2. ¿Qué es una razón?
Una razón es la comparación entre dos magnitudes mediante un cociente (división).
Ejemplo:
Una empresa produce 600 pantalones en 8 horas.
Magnitud 1: pantalones (600)
Magnitud 2: horas (8)
La razón se expresa como:
600 pantalones / 8 horas → 600 / 8También podemos escribirla de forma horizontal:
600 pantalones — 8 horasO al revés:
8 horas — 600 pantalonesImportante: El orden no altera el significado, pero debemos saber qué representa cada número.
Otro ejemplo:
1 día tiene 24 horas → razón: 1/24 o 24/1
3. Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando su cociente es constante.
Ejemplo con pantalones y horas:
| Pantalones | Horas | Cociente |
|---|---|---|
| 600 | 8 | 600/8 = 75 |
| 300 | 4 | 300/4 = 75 |
| 150 | 2 | 150/2 = 75 |
Como el cociente siempre es 75, los pantalones y las horas son directamente proporcionales.
Ejemplo con días y horas:
| Días | Horas | Cociente |
|---|---|---|
| 1 | 24 | 24/1 = 24 |
| 2 | 48 | 48/2 = 24 |
| 0.5 | 12 | 12/0.5 = 24 |
Ejemplo con balones y cajas:
| Balones | Cajas | Cociente |
|---|---|---|
| 4 | 1 | 4/1 = 4 |
| 8 | 2 | 8/2 = 4 |
| 12 | 3 | 12/3 = 4 |
Ese número constante se llama constante de proporcionalidad y se representa con la letra k.
También podemos hacer la división al revés:
| Cajas | Balones | Cociente |
|---|---|---|
| 1 | 4 | 1/4 = 0.25 |
| 2 | 8 | 2/8 = 0.25 |
| 3 | 12 | 3/12 = 0.25 |
En este caso, k = 0.25.
4. Propiedades de las proporciones
Fórmula general
Si a y b son valores de dos magnitudes directamente proporcionales:
a / b = kDespejando:
a = k · b¿Cómo reconocer magnitudes directamente proporcionales?
Si una magnitud aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción.
Si una magnitud disminuye, la otra también disminuye en la misma proporción.
Ejemplo:
24 horas → 48 horas (se multiplica por 2)
1 día → 2 días (también se multiplica por 2)
48 horas → 12 horas (se divide entre 4)
2 días → 0.5 días (también se divide entre 4)
Se dice directa porque ambas magnitudes van hacia el mismo lado: o ambas aumentan o ambas disminuyen.
5. Propiedad fundamental de la proporcionalidad directa
Si tenemos una proporción:
a / b = c / dEntonces se cumple que:
a · d = c · bEjemplo con pantalones y horas:
600 / 8 = 300 / 4Multiplicando en cruz:
600 · 4 = 300 · 8
2400 = 2400 ✓También podemos hacer la división de forma horizontal:
600 / 300 = 8 / 4
2 = 2 ✓6. Ejercicio de aplicación
Problema:
En un almacén empacan 4 balones en cada caja. Si una persona compró 24 balones, ¿cuántas cajas llevó?
Paso 1: Identificar las magnitudes
Balones
Cajas
Paso 2: Plantear la proporción
Sabemos que:
4 balones → 1 caja
24 balones → x cajasPaso 3: Aplicar la propiedad fundamental
4 / 1 = 24 / xMultiplicando en cruz:
4 · x = 24 · 1
4x = 24
x = 24 / 4
x = 6Respuesta:
La persona llevó 6 cajas.
7. ¿Qué es la regla de tres simple directa?
La regla de tres simple directa es el procedimiento que acabamos de aplicar.
Se llama regla de tres porque conocemos tres valores y nos falta uno.
Estructura:
a → b
c → xFórmula:
x = (c · b) / aEn el ejemplo anterior:
4 → 1
24 → x
x = (24 · 1) / 4 = 68. Resumen de pasos para resolver regla de tres simple directa
Identificar las dos magnitudes.
Verificar que sean directamente proporcionales (si una aumenta, la otra también).
Plantear la proporción.
Multiplicar en cruz.
Despejar la incógnita.
Verificar el resultado.
9. Ejercicios de práctica
Si 5 cuadernos cuestan $15, ¿cuánto cuestan 8 cuadernos?
Si un carro recorre 120 km en 2 horas, ¿cuántos km recorre en 5 horas?
Si 3 obreros construyen un muro en 6 días, ¿cuántos días tardarán 6 obreros? (Cuidado: verifica si es directa o inversa)
Si 2 kg de manzanas cuestan $4, ¿cuánto cuestan 7 kg?
Si 10 litros de pintura cubren 50 m², ¿cuántos litros se necesitan para 120 m²?
Conclusión
Las magnitudes directamente proporcionales y la regla de tres simple directa son herramientas fundamentales en matemáticas. La clave está en:
Identificar las magnitudes.
Comprobar que ambas aumentan o disminuyen juntas.
Aplicar la proporción y multiplicar en cruz.
Recuerda: Si una aumenta, la otra también aumenta. Si una disminuye, la otra también disminuye. ¡Eso es proporcionalidad directa!
¡Felicidades! Ahora dominas las magnitudes directamente proporcionales y la regla de tres simple directa
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