1-Razones y proporciones | Introducción- profe Alex

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Razones, Proporciones y Magnitudes Proporcionales- profe Alex

Introducción

Este tutorial te guiará paso a paso para comprender los conceptos fundamentales de magnitudes, razones y proporciones, con ejemplos prácticos y ejercicios para reforzar tu aprendizaje.

1. ¿Qué son las Magnitudes?

Una magnitud es toda propiedad que se puede medir y expresar mediante un número.

Ejemplos de magnitudes:

Magnitud	Ejemplo
Velocidad	80 km/h, 50 km/h
Tiempo	30 minutos, 2 horas
Masa	10 kg, 50 kg
Distancia	5 cuadras, 30 m, 10 cm
Temperatura	30°C, 15°C, 40°F
Precio	$30,000, $1
Partidos ganados	5 partidos, 3 partidos, 0 partidos

Importante: Para hablar de razones y proporciones, primero debemos entender qué son las magnitudes, ya que una razón es la comparación entre dos magnitudes.

2. ¿Qué son las Razones?

Una razón es la comparación entre dos magnitudes mediante una división o cociente.

Definición formal:

Razón es el cociente entre dos números o cantidades comparables entre sí.

Partes de una razón:

    a  ← Antecedente (número de arriba)
   ---
    b  ← Consecuente (número de abajo)

También se puede escribir como:

a : b (se lee "a es a b")
a/b (fracción)

Ejemplos de razones:

Ejemplo 1: Una empresa produce 600 pantalones en 8 horas.

Magnitud 1: Pantalones (600)
Magnitud 2: Horas (8)
Razón: 600/8

Ejemplo 2: En una receta se usan 50 g de harina por cada 500 ml de agua.

Magnitud 1: Gramos de harina (50)
Magnitud 2: Mililitros de agua (500)
Razón: 50/500

Ejemplo 3: Un día tiene 24 horas.

Razón: 1/24 o 24/1
Nota: El orden no es estricto, pero debemos tener claro qué representa cada número.

Diferencia entre razón y fracción:

Razón	Fracción
Antecedente y consecuente pueden ser decimales	Numerador y denominador son enteros
Ejemplo: 2.5 / 1.5	Ejemplo: 3/4

3. ¿Qué son las Proporciones?

Una proporción es una igualdad entre dos razones.

Definición formal:

Proporción es la igualdad entre dos razones.

Ejemplo:

20/4 = 10/2

20 ÷ 4 = 5
10 ÷ 2 = 5
Como ambas razones son iguales, forman una proporción.

Formas de escribir una proporción:

a/b = c/d
a : b :: c : d (se lee "a es a b como c es a d")

Ejemplo con días y horas:

Días	Horas
1	24
2	48

Razón 1: 24/1 = 24
Razón 2: 48/2 = 24
Como son iguales: 24/1 = 48/2 → ¡Es una proporción!

4. Propiedades de las Proporciones

Ley de proporcionalidad directa:

Si a y b son valores de dos magnitudes directamente proporcionales:

a/b = k  (constante de proporcionalidad)

También se cumple que:

a = k · b

Ejemplo con cajas y balones:

Cajas	Balones
1	4
2	8
3	12

Razones: 4/1 = 4, 8/2 = 4, 12/3 = 4
Constante de proporcionalidad (k) = 4
Comprobación: 4 = 1 × 4, 8 = 2 × 4, 12 = 3 × 4

Propiedad fundamental de las proporciones:

Si tenemos una proporción:

a/b = c/d

Entonces, la multiplicación cruzada siempre da igual:

a · d = b · c

Ejemplo:

20/4 = 10/2
20 × 2 = 40
10 × 4 = 40
✅ 40 = 40 → Es una proporción

5. Aplicaciones en Geometría

Ejemplo 1: Triángulos en proporción 1:2

Datos:

Triángulo pequeño: lado = 3 cm
Triángulo grande: lado = x cm
Proporción: 1 es a 2

Solución:

1/2 = 3/x

Multiplicación cruzada:

1 · x = 2 · 3
x = 6 cm

Método alternativo:

1 × 3 = 3
2 × 3 = 6
Por lo tanto, x = 6 cm

Ejemplo 2: Triángulos en proporción 2:3

Datos:

Triángulo pequeño: lado = 4 cm
Triángulo grande: lado = x cm
Proporción: 2 es a 3

Solución:

2/3 = 4/x

Multiplicación cruzada:

2 · x = 4 · 3
2x = 12
x = 6 cm

Método alternativo:

2 × 2 = 4
3 × 2 = 6
Por lo tanto, x = 6 cm

6. Ejercicios de Práctica

Ejercicio 1: Verificar si son proporciones

Verifica si las siguientes parejas de razones forman una proporción:

2/3 y 10/15
15/35 y 6/14
12/8 y 7/4

Solución:

2 × 15 = 30, 3 × 10 = 30 → ✅ Sí es proporción
15 × 14 = 210, 35 × 6 = 210 → ✅ Sí es proporción
12 × 4 = 48, 8 × 7 = 56 → ❌ No es proporción (48 ≠ 56)

Ejercicio 2: Completar medidas en triángulos

Triángulo 1 (proporción 1:2):

Lado conocido: 3 cm → 6 cm
Lado desconocido: 5 cm → ?
Lado desconocido: 4 cm → ?

Solución:

5 × 2 = 10 cm
4 × 2 = 8 cm

Triángulo 2 (proporción 2:3):

Lado conocido: 6 cm → 9 cm
Lado desconocido: 3 cm → ?

Solución:

3 × 1.5 = 4.5 cm
O también: 3 × 3 = 9, 2 × x = 9 → x = 4.5 cm

7. Resumen de Fórmulas

Concepto	Fórmula
Razón	a/b o a : b
Proporción	a/b = c/d
Multiplicación cruzada	a · d = b · c
Constante de proporcionalidad	k = a/b
Relación directa	a = k · b

8. Conclusión

Has aprendido:

Magnitudes: propiedades medibles con números.
Razones: comparación entre dos magnitudes.
Proporciones: igualdad entre dos razones.
Propiedades: multiplicación cruzada y constante de proporcionalidad.
Aplicaciones: resolución de problemas geométricos.

Próximos pasos:

Practica con más ejercicios.
Explora la proporcionalidad directa e inversa.
Aprende la regla de tres.

9. Videos Recomendados

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Proporcionalidad inversa
Regla de tres simple y compuesta

¡Espero que este tutorial te haya sido de utilidad! No olvides practicar y compartir este conocimiento con tus compañeros

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